قاعده هوپیتال

مثال برای استفاده از قاعدهٔ هوپیتال f(x) = sin(x) و g(x) = −0.5x: تابع h(x) = f(x)/g(x) در x = 0, تعریف نشده است اما حد آن در این نقطه برابر است با h(0) = f′(0)/g′(0) = −2.

قاعدهٔ هوپیتال یا لوپیتال (به فرانسوی: L'Hôpital)(فرانسوی: [lopital]) در حساب، روشی است که با استفاده از آن می‌توان حد تابع را، در صورت وجود، در نقطه‌ای که مقدار آن ${\tfrac {0}{0}}$ یا ${\tfrac {\pm \infty }{\pm \infty }}$ است بدست آورد. به بیان دیگر، برای رفع ابهام یک کسر تعریف نشده از این قاعده بهره می‌گیرند.

پیشینه

یوهان برنولی قراردادی با گیوم دو لوپیتال امضا کرد که به موجب آن می‌بایست کشفیات خود در ریاضیات را برای او بفرستد. نتیجه این شد که مهم‌ترین سهم برنولی در ریاضیات امروزه به نام قاعده هاپیتال و با تلفظ فرانسوی آن: قاعده لوپیتال نامیده می‌شود.

تعریف ریاضی

تابع $h={\tfrac {f}{g}}$ را در نظر بگیرید؛ اگر حد توابع $\ f$ و $\ g$ در نقطه‌ای مانند c صفر یا بی‌نهایت شود و این توابع در یک همسایگی محذوف c مشتق‌پذیر باشند، می‌توان برای رفع ابهام، از صورت ( $\ f$) و از مخرج ( $\ g$) به طور جداگانه مشتق گرفته و سپس حد تابع جدید را در نقطه c محاسبه کنیم. به بیان دیگر :

اگر

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0\$

یا

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty$

آنگاه

$\lim _{x\to c}h(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

به شرط آن که حد عبارت سمت راست وجود داشته باشد.

نمونه

${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}\\&=1\end{aligned}}$

یا

${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {-1}{x^{2}}}}\\&=0\end{aligned}}$

جستارهای وابسته

• شکل نامعلوم
• NaN

منابع

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. , page 420, 1991