تقریب استرلینگ

تقریب استرلینگ یا فرمول استرلینگ، به فرمولی در ریاضیات اشاره دارد که برای تقریب‌زنی فاکتوریل‌های بزرگ به‌کار می‌رود و به یاد جیمز استرلینگ (به انگلیسی: James Stirling) نام‌گذاری شده.

فرمول

محاسبهٔ مقدار واقعی $n!$ برای $n$های بزرگ خسته‌کننده است، به جای آن می‌توان مقدار $n!$ را از فرمول استرلینگ و لگاریتم طبیعی، محاسبه کرد:

$n!\approx A(n)=\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}$

خطای نسبی این تقریب که از فرمولِ

$E={\frac {|n!-A(n)|}{n!}}$

به‌دست می‌آید، در حالت بیشینه برابر است با:

${\frac {1}{12n-1}}$

اثبات

با استفاده از تابع گاما می‌توان فرمولی جایگزین برای $n!$ به شکل ذیل به‌دست‌آورد:

$n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,{\rm {d}}x.$

با تغییر متغیر $x=ny$ ، به معادله پایین دست می‌یابیم:

$n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}\,{\rm {d}}x=e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y.$

حال با استفاده از روش لاپلاس برای تخمین انتگرال خط پیشین به معادله پایین می‌رسیم:

$\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n},$

با جایگزینی انتگرال خواهیم داشت:

$n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}\,{\rm {d}}x\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}.$

عبارت بالا همان تقریب استرلینگ است، یعنی:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

البته روش لاپلاس را برای محاسبه دقیق‌تر تقریب نیز می‌توان مورد استفاده قرار داد، به این معنی که:

$\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}\left(1+{\frac {1}{12n}}\right)$

و تقریب دقیق‌تری به شکل پایین به‌دست‌آورد:

$n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}\left(1+{\frac {1}{12n}}\right)={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}\right).$

مثال

مقدار واقعی ‎۱۵!‎ می‌شود ۱۳۰۷۶۷۴۳۶۸۰۰۰، مقدار تقریبی ‎۱۵!‎ با استفاده از فرمول استرلینگ به صورت زیر به دست می‌آید:

$ln(A(15))=15(ln(15)-1)+{\frac {1}{2}}(ln(2\pi )+ln(15))\approx 27.89371$

بنابراین:

$15!\approx A(15)=e^{ln(A(15))}\approx 1300420000000$

(خطای نسبی در حدود ۰٫۰۰۶ است)

جستارهای وابسته

• فاکتوریل
• لگاریتم طبیعی
• تابع گاما