از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
در مکانیک کوانتومی ، با فرض هامیلتونین
H
{\displaystyle H}
و داشتن عملگر
Ω
{\displaystyle \Omega }
با ویژهبردارها و ویژهمقدارهای
Ω
|
q
j
⟩
=
q
j
|
q
j
⟩
{\displaystyle \Omega |q_{j}\rangle =q_{j}|q_{j}\rangle }
، عددهای
q
j
{\displaystyle q_{j}}
را عدد کوانتومی خوب مینامند اگر هر ویژهبردار
|
q
j
⟩
{\displaystyle |q_{j}\rangle }
با گذشت زمان یک ویژهبردار عملگر
Ω
{\displaystyle \Omega }
با همان ویژهمقدار باقی بماند.
توضیح ریاضی [ ویرایش ]
اگر
Ω
|
q
j
⟩
=
Ω
∑
k
c
k
(
0
)
|
e
k
⟩
=
q
j
|
q
j
⟩
{\displaystyle \Omega |q_{j}\rangle =\Omega \sum _{k}c_{k}(0)|e_{k}\rangle =q_{j}|q_{j}\rangle }
، (که
e
k
{\displaystyle e_{k}}
ویژهمقادیر هامیلتونین هستند) لازم است برای همهی ویژهبردارهای
|
q
j
⟩
{\displaystyle |q_{j}\rangle }
داشته باشیم:
Ω
∑
k
c
k
(
0
)
exp
(
−
i
e
k
t
/
ℏ
)
|
e
k
⟩
=
q
j
∑
k
c
k
(
0
)
exp
(
−
i
e
k
t
/
ℏ
)
|
e
k
⟩
{\displaystyle \Omega \sum _{k}c_{k}(0)\exp(-ie_{k}t/\hbar )\,|e_{k}\rangle =q_{j}\sum _{k}c_{k}(0)\exp(-ie_{k}t/\hbar )\,|e_{k}\rangle }
تا عدد
q
{\displaystyle q}
یک عدد کوانتومی خوب باشد.
قضیه :
شرط لازم و کافی برای اینکه عدد q که یک ویژهمقدار عملگر
Ω
{\displaystyle \Omega }
است خوب باشد، آن است که
[
Ω
,
H
]
=
0
{\displaystyle [\Omega ,\,H]=0}
.
برهان : فرض کنیم
[
Ω
,
H
]
=
0
{\displaystyle [\Omega ,\,H]=0}
. اگر
|
ψ
0
⟩
{\displaystyle |\psi _{0}\rangle }
یک ویژهبردار
Ω
{\displaystyle \Omega }
باشد طبق تعریف داریم
Ω
|
ψ
0
⟩
=
q
j
|
ψ
0
⟩
{\displaystyle \Omega |\psi _{0}\rangle =q_{j}|\psi _{0}\rangle }
. سپس:
Ω
|
ψ
t
⟩
=
Ω
T
(
t
)
|
ψ
0
⟩
{\displaystyle \Omega |\psi _{t}\rangle =\Omega \,T(t)\,|\psi _{0}\rangle }
=
Ω
e
−
i
t
H
/
ℏ
|
ψ
0
⟩
{\displaystyle =\Omega e^{-itH/\hbar }|\psi _{0}\rangle }
=
Ω
∑
n
=
0
∞
1
n
!
(
−
i
H
t
/
ℏ
)
n
|
ψ
0
⟩
{\displaystyle =\Omega \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-iHt/\hbar )^{n}|\psi _{0}\rangle }
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
(
−
i
H
t
/
ℏ
)
n
Ω
|
ψ
0
⟩
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-iHt/\hbar )^{n}\Omega |\psi _{0}\rangle }
=
q
j
|
ψ
t
⟩
.
◻
{\displaystyle =q_{j}|\psi _{t}\rangle .\quad \square }
مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «Good Quantum Number ». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی ، بازبینیشده در ۲۱/۸/۲۰۱۷.