ثابت کاتالان
در ریاضیات، ثابت کاتالان G تعریف میشود با
که β تابع بتا دیریکله است. مقدار عددی آن[۱] تقریباً (دنباله A006752 در OEIS) است:
- G = ۹۶۵۵۹۴۱۷۷۲۱۹۰۱۵۰۵۴۶۰۳۵۱۴۹۳۲۳۸۴۱۱۰۷۷۴ ۰٫۹۱۵…
آیا ثابت کاتالان گنگ است؟ اگر چنین است، آیا متعالی است؟
معلوم نیست که G عدد گنگ باشد، چه رسد به متعالی.[۲] G «را بیشک اساسیترین ثابتی خواندهاند که گنگ و تعالی بودن آن (اگرچه شدیداً مشکوک باشد) ثابت نشدهاست».[۳]
ثابت کاتالان به نام اوژن شارل کاتالان نامگذاری شد، وی سری سریعاً-همگرا را برای محاسبه آن پیدا کرد[۴] و در سال ۱۸۶۵ خاطرات آن را منتشر کرد.[۵]
کاربرد[ویرایش]
در توپولوژی بعد-پایین، ثابت کاتالان ۱/۴ حجم یک هشت وجهی ایدهآل هذلولی و در نتیجه ۱/۴ حجم هذلولی مکمل پیوند وایتهد است.[۶] ۱/۸ حجم مکمل حلقههای بورومین است.[۷]
در مکانیکهای آماری و ترکیبیاتی، این امر در ارتباط با شمارش کاشیکاریهای دومینو،[۸] درختان پوشا،[۹] و چرخههای همیلتونی نمودارهای شبکه ایجاد میشود.[۱۰]
در نظریه اعداد، ثابت کاتالان در یک فرمول حدس زده شده برای تعداد مجانب اعداد اول شکل ظاهر میشود مطابق حدس هاردی و لیتلوود اف. با این حال، این که حتی بینهایت از اعداد اول این شکل وجود دارد، این یک مسئله حل نشدهاست (یکی از مشکلات لاندائو).[۱۱]
ثابت کاتالان همچنین در محاسبه پخش جرم کهکشانهای مارپیچی ظاهر میشود.[۱۲][۱۳]
ارقام شناخته شده[ویرایش]
در طول دهههای گذشته تعداد ارقام شناخته شده ثابت کاتالان G به طرز چشمگیری افزایش یافتهاست. این امر هم به دلیل افزایش عملکرد رایانهها و هم به دلیل پیشرفتهای الگوریتمی است.[۱۴]
تاریخ | رقم اعشار | محاسبه انجام شده توسط |
---|---|---|
۱۸۳۲ | ۱۶ | توماس کلاوزن |
۱۸۵۸ | ۱۹ | کارل یوهان دانیلسون تپه |
۱۸۶۴ | ۱۴ | اوژن شارل کاتالان |
۱۸۷۷ | ۲۰ | جیمز دبلیوال گلیشر |
۱۹۱۳ | ۳۲ | جیمز دبلیوال گلیشر |
۱۹۹۰ | ۰۰۰ ۲۰ | گِرِگ جی. فی |
۱۹۹۶ | ۰۰۰ ۵۰ | گِرِگ جی. فی |
۱۴ اوت ۱۹۹۶ | ۰۰۰ ۱۰۰ | گِرِگ جی. فی و سیمون پلوف |
۲۹ سپتامبر ۱۹۹۶ | ۰۰۰ ۳۰۰ | توماس پاپانیکولائو |
۱۹۹۶ | ۵۰۰۰۰۰ ۱ | توماس پاپانیکولائو |
۱۹۹۷ | ۳۷۹۹۵۷ ۳ | پاتریک دمیشل |
۴ ژانویه ۱۹۹۸ | ۵۰۰۰۰۰ ۱۲ | خاویر گوردون |
۲۰۰۱ | ۰۰۰۵۰۰ ۱۰۰ | خاویر گوردون و پاسکال سبا |
۲۰۰۲ | ۰۰۰۰۰۰ ۲۰۱ | خاویر گوردون و پاسکال سبا |
اکتبر ۲۰۰۶ | ۰۰۰۰۰۰۰۰۰ ۵ | شیگرو کوندو و استیو پالیارلو[۱۵] |
اوت ۲۰۰۸ | ۰۰۰۰۰۰۰۰۰ ۱۰ | شیگرو کوندو و استیو پالیارلو[۱۶] |
۳۱ ژانویه ۲۰۰۹ | ۵۱۰۰۰۰۰۰۰ ۱۵ | الکساندر جی و ریموند چان[۱۷] |
۱۶ آوریل ۲۰۰۹ | ۰۲۶۰۰۰۰۰۰ ۳۱ | الکساندر جی و ریموند چان |
۷ ژوئن ۲۰۱۵ | ۰۰۰۰۰۱۱۰۰ ۲۰۰ | رابرت جی ستتی[۱۸] |
۱۲ آوریل ۲۰۱۶ | ۰۰۰۰۰۰۰۰۰ ۲۵۰ | رون واتکینز[۱۸] |
۱۶ فوریه ۲۰۱۹ | ۰۰۰۰۰۰۰۰۰ ۳۰۰ | تیزین هانسلمان[۱۸] |
۲۹ مارس ۲۰۱۹ | ۰۰۰۰۰۰۰۰۰ ۵۰۰ | مایک آ و ایان کاترس[۱۸] |
۱۶ ژوئیه ۲۰۱۹ | ۰۰۰۰۰۰۱۰۰ ۶۰۰ | سونگمین کیم[۱۹][۲۰] |
۱۶ ژوئیه ۲۰۱۹ | ۰۰۰۰۰۰۱۰۰ ۶۰۰ | رابرت رینولدز[۲۱] |
جستارهای وابسته[ویرایش]
منابع[ویرایش]
- ↑ Papanikolaou, Thomas (March 1997). "Catalan's Constant to 1,500,000 Places". Gutenberg.org.
- ↑ Nesterenko, Yu. V. (January 2016), "On Catalan's constant", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 292 (1): 153–170, doi:10.1134/s0081543816010107.
- ↑ Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Mattingly, Andrew; Wightwick, Glenn (2013), "The computation of previously inaccessible digits of and Catalan's constant", Notices of the American Mathematical Society, 60 (7): 844–854, doi:10.1090/noti1015, MR 3086394
- ↑ Goldstein, Catherine (2015), "The mathematical achievements of Eugène Catalan", Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège, 84: 74–92, MR 3498215
- ↑ Catalan, E. (1865), Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies, Mémoires de l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique (به فرانسوی), vol. 33, Brussels
- ↑ Agol, Ian (2010), "The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds", Proceedings of the American Mathematical Society, 138 (10): 3723–3732, arXiv:0804.0043, doi:10.1090/S0002-9939-10-10364-5, MR 2661571.
- ↑ William Thurston (March 2002), "7. Computation of volume", The Geometry and Topology of Three-Manifolds, p. 165, archived from the original (PDF) on 27 July 2020, retrieved 29 April 2021
- ↑ Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. (August 1961), "Dimer problem in statistical mechanics—an exact result", Philosophical Magazine, 6 (68): 1061–1063, doi:10.1080/14786436108243366
- ↑ Wu, F. Y. (1977), "Number of spanning trees on a lattice", Journal of Physics, 10 (6): L113–L115, doi:10.1088/0305-4470/10/6/004, MR 0489559
- ↑ Kasteleyn, P. W. (1963), "A soluble self-avoiding walk problem", Physica, 29: 1329–1337, doi:10.1016/S0031-8914(63)80241-4, MR 0159642
- ↑ Shanks, Daniel (1959), "A sieve method for factoring numbers of the form ", Mathematical Tables and other Aids to Computation, 13: 78–86, MR 0105784
- ↑ Wyse, A. B.; Mayall, N. U. (January 1942), "Distribution of Mass in the Spiral Nebulae Messier 31 and Messier 33.", The Astrophysical Journal, 95: 24–47, Bibcode:1942ApJ....95...24W, doi:10.1086/144370
- ↑ van der Kruit, P. C. (March 1988), "The three-dimensional distribution of light and mass in disks of spiral galaxies.", Astronomy & Astrophysics, 192: 117–127, Bibcode:1988A&A...192..117V
- ↑ Gourdon, X.; Sebah, P. "Constants and Records of Computation".
- ↑ "Shigeru Kondo's website". Archived from the original on 2008-02-11. Retrieved 2008-01-31.
- ↑ Constants and Records of Computation
- ↑ Large Computations
- ↑ ۱۸٫۰ ۱۸٫۱ ۱۸٫۲ ۱۸٫۳ Catalan's constant records using YMP
- ↑ Catalan's constant records using YMP
- ↑ Catalan's constant world record by Seungmin Kim
- ↑ A Definite Integral Involving the Logarithmic Function in Terms of the Lerch Function by Robert Reynolds and Allan Stauffer
بیشتر خواندن[ویرایش]
- Adamchik, Victor (2002). "A certain series associated with Catalan's constant". Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 21 (3): 1–10. doi:10.4171/ZAA/1110. MR 1929434. Archived from the original on 16 March 2010. Retrieved 29 April 2021.
- Fee, Gregory J. (1990). "Computation of Catalan's Constant Using Ramanujan's Formula". In Watanabe, Shunro; Nagata, Morio (eds.). Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '90, Tokyo, Japan, August 20-24, 1990. ACM. pp. 157–160. doi:10.1145/96877.96917. ISBN 0-201-54892-5. S2CID 1949187.
- Bradley, David M. (1999). "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". The Ramanujan Journal. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723. MR 1703281.
- Bradley, David M. (2007). "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". The Ramanujan Journal. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. Bibcode:2007arXiv0706.0356B. doi:10.1023/A:1006945407723.
پیوند به بیرون[ویرایش]
- Adamchik, Victor. "33 representations for Catalan's constant". Archived from the original on 2016-08-07.
- Plouffe, Simon (1993). "A few identities (III) with Catalan". Archived from the original on 2019-06-26. (Provides over one hundred different identities).
- Plouffe, Simon (1999). "A few identities with Catalan constant and Pi^2". Archived from the original on 2019-06-26. (Provides a graphical interpretation of the relations)
- Fee, Greg (1996). "Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)". (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant)
- Bradley, David M. (2001), Representations of Catalan's constant
- Johansson, Fredrik. "0.915965594177219015054603514932". Ordner, a catalog of real numbers in Fungrim.
- "Catalan's Constant". YouTube. Let's Learn, Nemo!. 10 August 2020.
- Weisstein, Eric W. "Catalan's Constant". MathWorld.
- Catalan constant: Series representations at the ولفرم ریسرچ Functions Site
- "Catalan constant", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]